Polyeder sind geometrische Körper, die aus Ecken, Kanten und ebenen vieleckigen Seitenflächen bestehen. In unserem Projekt beschränken wir uns auf konvexe Polyeder. Das bedeutet, dass alle inneren Winkel kleiner sind als 180°, also dass sie keine Einbuchtungen, Aushöhlungen oder Löcher haben.

Bekannte Beispiele von Polyedern sind der Würfel oder die Pyramide. Aber auch das Prisma oder das Oktaeder sind manchem vielleicht schon einmal begegnet. Es gibt aber noch viel mehr Polyeder.

Eine besonders symmetrische und regelmäßige Klasse von Polyedern sind die platonischen Körper. Die fünf Polyeder bestehen nur aus gleichseitigen Vielecken. Das Tetraeder, das Oktaeder und das Ikosaeder bestehen aus gleichseitigen Dreiecken. In jeder Ecke des Tetraeders treffen drei davon zusammen. Beim Oktaeder sind es vier und beim Ikosaeder fünf. Legt man nun aber sechs gleichseitige Dreiecke in einem Punkt zusammen, so ergibt sich ein Gesamtwinkel von 360°. Damit liegen die Dreiecke flach auf der Ebene und kein Körper entsteht. Ähnlich konstruiert man auch den Würfel, bei dem in jeder Ecke drei Quadrate zusammenstoßen und das Dodekaeder, in dem je drei Fünfecke aneinander treffen. Dieses Vorgehen verwendete auch Euklid, der in seinem Buch „Elemente“ auf diese Weise bewies, dass es keine weiteren Körper mit dieser Eigenschaft geben kann.

Doch nicht nur symmetrische Polyeder sind für Mathematikerinnen und Mathematiker interessant. Oft suchen sie Polyeder (oder eben ihr höherdimensionales Äquivalent, Polytope), die ganz bestimmte Eigenschaften haben. Wir haben Geometerinnen und Geometer (so heißen die Mathematikerinnen und Mathematiker, die sich mit Geometrie beschäftigen) gefragt, welches ihre Lieblingspolyeder sind und warum. Hier sind einige Antworten:

„Wenn man Polyeder als Edelsteine betrachtet, so ist das Assoziaeder (Artikel in Englisch) der Diamant unter den Polyedern. Diamanten bestehen aus einem in der Natur sehr häufig vorkommenden Element: Kohlenstoff. Genauso entsteht das Assoziaeder durch sehr verbreitete Verfahren. Es fasziniert aber dennoch durch seine einzigartige und besondere Struktur – wie eben der Diamant.“ - Jean-Philippe Labbé.

„Mein Lieblingspolyeder ist das Ikosaeder, denn es ist sowohl sehr komplex als auch sehr einfach. Wenn man anfängt gleichseitige Dreiecke aneinander zu kleben, immer fünf Stück an einer Ecke, entsteht zwangsläufig dieses schöne Stück. Wenn ich mich in der Schule gelangweilt habe – auch das ist vorgekommen – habe ich angefangen Ikosaeder an den Rand meiner Hefte zu zeichnen. Manchmal waren sie natürlich nicht so regelmäßig, ich habe mir einen Spaß daraus gemacht, sie wie Gesichter aussehen zu lassen. Ein weiterer Grund für meine Faszination ist, dass man seine 12 Ecken in 3 Vierecke zerlegen kann, die dem goldenen Schnitt entsprechen und wie borromäische Ringe ineinander verschlungen sind.“ - Francisco Santos.

„Das interessanteste Polyeder ist für mich der ‚Miller-Körper‘ (Artikel in Englisch), der auch als ‚Pseudorhombenkuboktaeder‘ oder als ‚verlängerte verdrehte Quadratsdoppelkuppel‘ bezeichnet wird. Zuerst entdeckt wurde er im Jahre 1905 von D.M.Y. Sommerville. Er hat eine bewegte Geschichte des Übersehen-, Entdeckt- und Wiederentdecktwerdens. (Unter anderem auch von J.C.P. Miller, dem es einen seiner Namen verdankt.) Bei näherer Betrachtung entdeckt man eine Verdrehung des scheinbar perfekten Körpers, der seine Schönheit unterstreicht. Zunächst erscheint er sehr klassisch, wie ein Archimedischer Körper. Nach der modernen Definition dieser Körper gehört er dieser Familie aber nicht an. Darum ist das Pseudorhombenkuboktaeder auch eine Erinnerung daran, dass wir in der Mathematik sorgfältig mit Definitionen umgehen müssen und es immer Ausnahmen und Spezialfälle geben kann, die man zunächst nicht bedacht hat.“ - Günter M. Ziegler.

„Die Klasse der Koebe-Polyeder faszinieren mich. Alle ihre Kanten berühren eine Kugel und alle Seitenflächen besitzen einen Innkreis. Die Innkreise von benachbarten Seitenflächen berühren sich in einem Punkt. Es existiert ein expliziter Dualisierungsprozess, mit dem diese diskreten Minimalflächen von Koebe Polyedern generiert werden können. Die dazugehörigen Flächen sind die diskreten P-Schwarz-Flächen und das Koebe-Polyeder ist seine Gauß-Abbildung. Mehr dazu kann man hier nachlesen: A.I. Bobenko, T. Hoffmann, B.A. Springborn, Minimal surfaces from circle patterns: Geometry from combinatorics, Ann. of Math. 164:1 (2006) 231-264) oder nachschauen: (http://discretization.de/en/movies/koebe/).“ - Alexander Bobenko.

Ein Polygon, das man umgangssprachlich auch Vieleck nennt, ist ein zweidimensionales Polyeder. Es besteht aus Ecken und Kanten. Die Fläche, die von den Kanten eingegrenzt wird, ist das Polygon selbst.

Eine besondere Klasse bilden die regulären Polygone. Sie bestehen nur aus Kanten gleicher Länge, und alle ihre inneren Winkel sind gleich groß. Das Quadrat, das gleichseitige Dreieck und auch das gleichseitige Fünfeck sind reguläre Polygone. Sie bilden die Bausteine für die Platonischen und Archimedischer Körper.

Schneidet man einen hohlen Würfel an ausreichend vielen Kanten auf und faltet ihn dann flach auf die Ebene auf, so entsteht ein Würfelnetz. Zeichnet man dieses Netz auf Papier oder Pappe, so entsteht ein Bastelbogen, den man ausschneiden und zu einem Würfel zusammenkleben kann. Diese Methode funktioniert natürlich auch für alle anderen Polyeder. In unserem Projekt nutzen wir genau diese Bögen, um die Modelle zu bauen. Das Polyeder wird an den Kanten aufgeschnitten und ausgeklappt. Diesen Vorgang haben wir mit dem Computer simuliert und auf diese Weise automatisch die Polyedernetze erstellt.

Ein Würfel mit seinem Netz sowie ein Polyeder mit sieben Ecken und das dazugehörige Netz.

Die archimedischen Körper bilden eine weitere Klasse von sehr symmetrischen und damit manchmal als schön bezeichneten Polyedern. Auch sie bestehen nur aus gleichseitigen Vielecken, aber, anders als bei den platonischen Körpern, nicht nur aus denselben. Der Fußball ist wohl der bekannteste archimedische Körper. Mathematikerinnen und Mathematiker nennen ihn auch Ikosaederstumpf, denn er entsteht, wenn man bei einem Ikosaeder an jeder Ecke die Spitze abschneidet.

Links der Ikosaeder und rechts sein Ikosaederstumpf (oder Fußball).

Für jede feste Anzahl an Ecken gibt es eine bestimmte Anzahl an Polyedern. In der Tabelle ist die Anzahl der Ecken der Anzahl der verschiedenen Typen von Polyedern zugeordnet. Man erkennt, dass die Anzahl der Typen rapide ansteigt. So gibt es nur ein einziges Polyeder mit vier Ecken: das Tetraeder. Verteilt man nämlich vier Punkte im Raum, so liegen sie entweder alle auf einer Ebene, oder man erhält immer eine Pyramide über einem Dreieck.

Für fünf Ecken gibt es nur zwei Möglichkeiten: die Pyramide über einem Viereck, wenn vier der fünf Punkte auf einer Ebene liegen, oder die Doppelpyramide über einem Dreieck. Die sieben verschiedenen Typen von 6-eckigen Polyedern zu finden, wird dann schon langsam komplizierter.

Um herauszufinden, wie viele Polyeder einer gewissen Anzahl es tatsächlich gibt, müssen wir sie auflisten. Dazu müssen alle erstellt werden. Woher aber weiß man, dass diese Liste vollständig ist und kein Polyeder doppelt vorkommt? In der Geometrie gibt es den Satz von Steinitz, der besagt, dass jedes Polyeder eindeutig einem Graphen mit einer bestimmten Eigenschaft zugeordnet werden kann. (Hier geht es um die Protagonisten aus der Graphentheorie und nicht diejenigen, die in Koordinatensystemen zu Hause sind.) Diese Graphen sind mathematisch leichter zu fassen und damit abzuzählen. Doch auch hierfür benötigt man einen Computer, da die Zahlen schnell sehr groß werden. Die Anzahl der sieben- und achteckigen Polyeder, nämlich 34 bzw. 257 Stück, wurden bereits im Jahre 1899 gefunden. Bis zur Entdeckung der 2606 neuneckigen Polyeder im Jahre 1969 war die Erfindung des Computers notwendig.

In der Mathematik gibt es viele Möglichkeiten Dimensionen zu interpretieren. Der zugänglichste ist, sich die Dimensionen als Variablen vorzustellen. Einen Apfelkuchen zum Beispiel, der aus 6 Zutaten, sagen wir: Mehl, Butter, Zucker, Eiern, Backpulver und Äpfeln besteht, kann man als sechsdimensionales Objekt verstehen.

Durch das Betrachten von Fotos und Filmen, die ja immer eine Darstellung unserer dreidimensionalen Welt in einem zweidimensionalen Medium sind, sind wir es gewohnt eine Dimension mehr zu sehen. Den Vorgang des Abbildens einer höheren Dimension in eine niedrigere, also wenn man ein Foto, dass ja zweidimensional ist, von der dreidimensionalen Welt macht, nennt man in der Mathematik Projektion. Da es leider nicht möglich ist, den vierdimensionalen Raum im uns umgebenden dreidimensionalen Raum wirklich unterzubringen, müssen wir uns mit Projektionen behelfen.

Betrachtet man zum Beispiel den Würfel, so bestehen seine Seitenflächen aus Quadraten. Ein Quadrat kann man sich, da alle seine Kanten gleich lang sind, als einen zweidimensionalen Würfel vorstellen. Die Seiten des dreidimensionalen Würfels sind demnach zweidimensionale Würfel. Dieser Zusammenhang lässt sich auch auf höhere Dimensionen übertragen. Die Seitenflächen eines vierdimensionalen Würfels bestehen dann aus dreidimensionalen Würfeln. Es entsteht ein sogenannter Tesserakt. Hier ist ein Link zu einem Video (mit Untertiteln) in dem dieser Zusammenhang noch einmal graphisch visualisiert wird.

Wenn wir von Polyedern sprechen, setzen wir stillschweigend voraus, dass es sich um konvexe Polyeder handelt. Konvex bedeutet, dass es keine Einbuchtungen nach innen, Aushöhlungen oder Löcher gibt. Die mathematisch korrekte Definition von Konvexität besagt, dass es für je zwei Punkte, die innerhalb einer Menge liegen auch ihre Verbindungsstrecke komplett innerhalb der Menge liegen muss.

Links ein konvexes Objekt, rechts ein Objekt, das nicht konvex ist.

Jedes Polyeder kann auf verschiedene Arten geometrisch realisiert werden. Es kann groß oder klein sein, seine Form kann sich verändern, solange die Struktur der Ecken, Kanten und Flächen dieselbe bleibt. Diese Struktur, das Zusammentreffen der Kanten in den Ecken und die Anzahl der Ecken, die zu einer Fläche gehören, nennt man den kombinatorischen Typ eines Polyeders. Wir nennen zwei Polyeder kombinatorisch äquivalent, wenn sie denselben kombinatorischen Typ besitzen. d. h. wenn man die Ecken eindeutig einander zuordnen kann, so dass, wenn zwei Ecken in einem Polyeder durch eine Kante verbunden sind, auch die Ecken im anderen Polyeder eine gemeinsame Kante besitzen. Jedes Polyeder hat unendlich viele verschiedene geometrische Realisierungen. Wenn Du Dir hier auf Polytopia.eu ein Polyeder aussuchst, adoptierst du gleich den ganzen kombinatorischen Typ. Das bedeutet, dass du eigentlich gleich unendlich viele Polyeder adoptiert hast. Damit es aber nicht ganz so unübersichtlich ist, und du auch irgendwann mal mit dem Modellbauen fertig wirst, haben wir uns auf eine eindeutige Realisierung der Polyeder festgelegt. Es sind die sogenannten Koebe-Andreev-Thurston-Realisierungen der Polyeder. Ihre Besonderheit ist, dass im Inneren des Polyeders eine Kugel einbeschrieben ist, die jede der Kanten des Polyeders an genau einem Punkt berührt. Insbesondere beinhaltet jede Seitenfläche damit einen Kreis, der die Kanten genau einmal sanft berührt.

Der f-Vektor eines Polyeders gibt an, wie viele Ecken, Kanten und Seitenflächen es besitzt. Ein Vektor ist in diesem Fall keine geometrische Größe, sondern nur die Art und Weise der Darstellung dieser Zahlen. Der Würfel besteht aus 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Seitenflächen und hat somit den f-Vektor (8,12,6). Durch diesen Vektor sind die Polyeder allerdings nicht eindeutig bestimmt. Es kann andere Polyeder mit demselben f-Vektor geben, die eine völlig andere Struktur haben. Diese Polyeder nennen wir auch Geschwister.

Hier sehen wir den Würfel und seine Schwester, die ebenfalls 6 Seitenflächen, 12 Kanten und 8 Ecken besitzt, jedoch eine ganz andere Struktur hat als der Würfel.

Mathematische Modelle und deren Bau spielten in der wissenschaftlichen Mathematik lange eine wichtige Rolle. Zum einen gab es einfach keine andere Möglichkeit, um sich zu einer Anschauung im Raum zu verhelfen. Natürlich kann man dreidimensionale Modelle auch zeichnen, dann erhält man aber immer nur eine Projektion des Raumes in die Ebene, wie bei einem Foto. Bei diesen macht uns das Erkennen des Raumes keine Probleme, weil wir ja wissen, dass ein Tisch meistens rechtwinklig ist. Sehen wir einen perspektivisch verzerrten Tisch auf einem Foto, so wissen wir intuitiv, dass er eigentlich rechtwinklig ist. Anders ist das natürlich, wenn man überhaupt erst mal begreifen möchte, welche Struktur ein geometrisches Objekt besitzt. Um z. B. eine Symmetrieachse zu erkennen, ist es sehr hilfreich einen Körper tatsächlich in der Hand halten und drehen zu können.

Modelle dienten jedoch nicht nur dem eigenen Erkenntnisgewinn, sondern auch der Wissensvermittlung. Um die eigene Forschung anderen zugänglich zu machen, brauchten Mathematikerinnen und Mathematiker eine Möglichkeit zur Visualisierung. Heutzutage wird dies vor allem mit dem Computer gemacht. Es gibt zahlreiche Möglichkeiten mathematische und geometrische Graphiken zu erzeugen. Durch Rotation eines Modells wird auch dem Problem der Einschränkung auf den flachen Bildschirm entgegengewirkt.

Obwohl sich schon seit der Antike Mathematikerinnen und Mathematiker mit Polyedern beschäftigen, ist noch lange nicht alles über sie bekannt. Ein „schönes“, weil leicht verständliches und doch bislang ungelöstes Problem ist die sogenannte Dürer’sche Vermutung. Der Maler Albrecht Dürer hat sich einige Jahre lang intensiv mit Mathematik beschäftigt. Auf ihn geht auch das Konzept des Polyedernetzes zurück. In seinem Buch „Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt“ zeichnete er Netze von verschiedenen Polyedern.

Ein Polyedernetz entsteht, indem man das Polyeder als leere Hülle betrachtet, die man nun entlang seiner Kanten so aufschneidet, dass sie zusammenhängend bleibt, aber flach aufgeklappt werden kann. Auf diese Weise entsteht eine Art Bastelbogen für das Polyeder. Die Frage hinter Dürers Vermutung lautet nun, ob dies mit jedem Polyeder so möglich ist, dass sich die Seitenflächen in der Ebene nicht überschneiden. Besitzt also jedes Polyeder einen Bastelbogen?

Bis heute haben sich viele Mathematikerinnen und Mathematiker mit diesem Problem beschäftigt. Es gibt erste Zwischenergebnisse. Zum Bespiel ist bekannt, dass man jedes beliebige Polyeder so in die Länge ziehen kann, dass es dann überschneidungsfrei aufgeklappt werden kann (s. https://arxiv.org/pdf/1305.3231.pdf). Dadurch ändert sich zwar die geometrische Realisierung des Polyeders, nicht aber seine Struktur. Auf der anderen Seite ist das Tetraeder das einzige Polyeder, für das wir wirklich wissen, dass es immer aufgeklappt werden kann, egal wie sehr es verzerrt ist.

Da wir die Polyedernetze und somit die Bastelbögen der Polyeder automatisch generiert haben, ist es möglich, dass das Netz deines adoptierten Polyeders sich überschneidet und somit nicht ausgeschnitten werden kann. Sollte das bei deinem Polyeder so sein: Schreib uns eine E-Mail!

Wir nennen Polyeder Geschwister, wenn sie dieselbe Anzahl von Ecken, Kanten und Seitenflächen, also denselben f-Vektor, haben. Wie menschliche Geschwister sehen sich manche sehr ähnlich, andere wiederum haben eine völlig andere Form. Der Würfel besteht aus 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Seitenflächen. Diese Zahlen definieren ihn also nicht eindeutig, denn es gibt auch andere Polyeder mit diesem f-Vektor, die eine völlig andere Struktur haben.

Geschwister:Cindy, Bobby, Peter-Pans der Peter von Peter, Geschwisterchen 1000020, Geschwisterchen 1000022, Geschwisterchen 1000024, Geschwisterchen 1000041, Geschwisterchen 1000054, Geschwisterchen 1000091, Geschwisterchen 1000120, Geschwisterchen 1000127, Geschwisterchen 1000130, Geschwisterchen 1000137, Geschwisterchen 1000139, Geschwisterchen 1000141, Geschwisterchen 1000144, Geschwisterchen 1000148, Geschwisterchen 1000150, Geschwisterchen 1000153, Geschwisterchen 1000155, . . . Geschwisterchen 1000158, Geschwisterchen 1000160, Geschwisterchen 1000162, Geschwisterchen 1000166, Geschwisterchen 1000170, Geschwisterchen 1000183, Geschwisterchen 1000185, Geschwisterchen 1000186, Geschwisterchen 1000187, Geschwisterchen 1000195, Geschwisterchen 1000196, Geschwisterchen 1000197, Geschwisterchen 1000202, Geschwisterchen 1000206, Geschwisterchen 1000227, Geschwisterchen 1000232, Geschwisterchen 1000235, Geschwisterchen 1000249, Geschwisterchen 1000305, Geschwisterchen 1000306, Geschwisterchen 1000310, Geschwisterchen 1000358, Geschwisterchen 1000428, Geschwisterchen 1000452, Geschwisterchen 1000454, Geschwisterchen 1000455, Geschwisterchen 1000459, Geschwisterchen 1000482, Geschwisterchen 1000488, Geschwisterchen 1000491, Geschwisterchen 1000497, Geschwisterchen 1000522, Geschwisterchen 1000525, Geschwisterchen 1000528, Geschwisterchen 1000530, Geschwisterchen 1000535, Geschwisterchen 1000542, Geschwisterchen 1000544, Geschwisterchen 1000545, Geschwisterchen 1000550, Geschwisterchen 1000552, Geschwisterchen 1000554, Geschwisterchen 1000555, Geschwisterchen 1000563, Geschwisterchen 1000577, Geschwisterchen 1000606, Geschwisterchen 1000616, Geschwisterchen 1000696, Geschwisterchen 1000717, Geschwisterchen 1000719, Geschwisterchen 1000733, Geschwisterchen 1000737, Geschwisterchen 1000769, Geschwisterchen 1000781, Geschwisterchen 1000782, Geschwisterchen 1000825, Geschwisterchen 1000832, Geschwisterchen 1000841, Geschwisterchen 1000844, Geschwisterchen 1000848, Geschwisterchen 1000850, Geschwisterchen 1000853, Geschwisterchen 1000854, Geschwisterchen 1000855, Geschwisterchen 1000859, Geschwisterchen 1000861, Geschwisterchen 1000866, Geschwisterchen 1000878, Geschwisterchen 1000885, Geschwisterchen 1000893, Geschwisterchen 1000898, Geschwisterchen 1000901, Geschwisterchen 1000922, Geschwisterchen 1000925, Geschwisterchen 1000954, Geschwisterchen 1001011, Geschwisterchen 1001014, Geschwisterchen 1001017, Geschwisterchen 1001037, Geschwisterchen 1001052, Geschwisterchen 1001071, Geschwisterchen 1001117, Geschwisterchen 1001118, Geschwisterchen 1001129, Geschwisterchen 1001149, Geschwisterchen 1001160, Geschwisterchen 1001162, Geschwisterchen 1001164, Geschwisterchen 1001166, Geschwisterchen 1001170, Geschwisterchen 1001173, Geschwisterchen 1001175, Geschwisterchen 1001177, Geschwisterchen 1001210, Geschwisterchen 1001212, Geschwisterchen 1001213, Geschwisterchen 1001222, Geschwisterchen 1001232, Geschwisterchen 1001344, Geschwisterchen 1001350, Geschwisterchen 1001352, Geschwisterchen 1001355, Geschwisterchen 1001368, Geschwisterchen 1001371, Geschwisterchen 1001376, Geschwisterchen 1001380, Geschwisterchen 1001383, Geschwisterchen 1001391, Geschwisterchen 1001401, Geschwisterchen 1001404, Geschwisterchen 1001440, Geschwisterchen 1001463, Geschwisterchen 1001470, Geschwisterchen 1001475, Geschwisterchen 1001479, Geschwisterchen 1001490, Geschwisterchen 1001497, Geschwisterchen 1001500, Geschwisterchen 1001528, Geschwisterchen 1001566, Geschwisterchen 1001568, Geschwisterchen 1001570, Geschwisterchen 1001580, Geschwisterchen 1001591, Geschwisterchen 1001594, Geschwisterchen 1001725, Geschwisterchen 1001732, Geschwisterchen 1001734, Geschwisterchen 1001745, Geschwisterchen 1001759, Geschwisterchen 1001761, Geschwisterchen 1001763, Geschwisterchen 1001766, Geschwisterchen 1001768, Geschwisterchen 1001770, Geschwisterchen 1001771, Geschwisterchen 1001774, Geschwisterchen 1001775, Geschwisterchen 1001777, Geschwisterchen 1001779, Geschwisterchen 1001782, Geschwisterchen 1001785, Geschwisterchen 1001789, Geschwisterchen 1001791, Geschwisterchen 1001793, Geschwisterchen 1001795, Geschwisterchen 1001807, Geschwisterchen 1001821, Geschwisterchen 1001838, Geschwisterchen 1001847, Geschwisterchen 1001851, Geschwisterchen 1001885, Geschwisterchen 1001899, Geschwisterchen 1001901, Geschwisterchen 1001913, Geschwisterchen 1001984, Geschwisterchen 1001996, Geschwisterchen 1001998, Geschwisterchen 1002075, Geschwisterchen 1002116, Geschwisterchen 1002125, Geschwisterchen 1002130, Geschwisterchen 1002132, Geschwisterchen 1002134, Geschwisterchen 1002141, Geschwisterchen 1002143, Geschwisterchen 1002160, Geschwisterchen 1002162, Geschwisterchen 1002163, Geschwisterchen 1002165, Geschwisterchen 1002167, Geschwisterchen 1002171, Geschwisterchen 1002176, Geschwisterchen 1002178, Geschwisterchen 1002181, Geschwisterchen 1002184, Geschwisterchen 1002186, Geschwisterchen 1002187, Geschwisterchen 1002189, Geschwisterchen 1002192, Geschwisterchen 1002197, Geschwisterchen 1002199, Geschwisterchen 1002201, Geschwisterchen 1002209, Geschwisterchen 1002212, Geschwisterchen 1002246, Geschwisterchen 1002248, Geschwisterchen 1002253, Geschwisterchen 1002260, Geschwisterchen 1002276, Geschwisterchen 1002281, Geschwisterchen 1002287, Geschwisterchen 1002294, Geschwisterchen 1002296, Geschwisterchen 1002297, Geschwisterchen 1002302, Geschwisterchen 1002303, Geschwisterchen 1002306, Geschwisterchen 1002350, Geschwisterchen 1002352, Geschwisterchen 1002393, Geschwisterchen 1002398, Geschwisterchen 1002401, Geschwisterchen 1002415, Geschwisterchen 1002449, Geschwisterchen 1002455, Geschwisterchen 1002458, Geschwisterchen 1002461, Geschwisterchen 1002469, Geschwisterchen 1002475, Geschwisterchen 1002478, Geschwisterchen 1002480, Geschwisterchen 1002482, Geschwisterchen 1002484, Geschwisterchen 1002487, Geschwisterchen 1002490, Geschwisterchen 1002494, Geschwisterchen 1002496, Geschwisterchen 1002524, Geschwisterchen 1002571, Geschwisterchen 1002576, Geschwisterchen 1002578, Geschwisterchen 1002584, Geschwisterchen 1002588, Geschwisterchen 1002590, Geschwisterchen 1002592, Geschwisterchen 1002595, Geschwisterchen 1002598, Geschwisterchen 1002600, Geschwisterchen 1002602, Geschwisterchen 1002608, Geschwisterchen 1002615, Geschwisterchen 1002618, Geschwisterchen 1002625, Geschwisterchen 1002628, Geschwisterchen 1002630, Geschwisterchen 1002633, Geschwisterchen 1002649, Geschwisterchen 1002660, Geschwisterchen 1002685, Geschwisterchen 1002686, Geschwisterchen 1002701, Geschwisterchen 1002731, Geschwisterchen 1002756, Geschwisterchen 1002781, Geschwisterchen 1002785, Geschwisterchen 1002787, Geschwisterchen 1002788, Geschwisterchen 1002797, Geschwisterchen 1002799, Geschwisterchen 1002801, Geschwisterchen 1002816, Geschwisterchen 1002818, Geschwisterchen 1002819, Geschwisterchen 1002824, Geschwisterchen 1002841, Geschwisterchen 1002845, Geschwisterchen 1002846, Geschwisterchen 1002851, Geschwisterchen 1002853, Geschwisterchen 1002857, Geschwisterchen 1002859, Geschwisterchen 1002862, Geschwisterchen 1002866, Geschwisterchen 1002868, Geschwisterchen 1002875, Geschwisterchen 1002878, Geschwisterchen 1002879, Geschwisterchen 1002886, Geschwisterchen 1002887, Geschwisterchen 1002897, Geschwisterchen 1002901, Geschwisterchen 1002903, Geschwisterchen 1002905, Geschwisterchen 1002908, Geschwisterchen 1002910, Geschwisterchen 1002913, Geschwisterchen 1002919, Geschwisterchen 1002922, Geschwisterchen 1002938, Geschwisterchen 1002942, Geschwisterchen 1002945, Geschwisterchen 1002958, Geschwisterchen 1002959, Geschwisterchen 1002962, Geschwisterchen 1002964, Geschwisterchen 1002967, Geschwisterchen 1002974, Geschwisterchen 1002976, Geschwisterchen 1002978, Geschwisterchen 1002980, Geschwisterchen 1002983, Geschwisterchen 1002987, Geschwisterchen 1002989, Geschwisterchen 1002991, Geschwisterchen 1002995,
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Aus der Perspektive der reinen Mathematik sind Polyeder vor allem schön und interessant und ihre Erforschung bedarf keiner weiteren Rechtfertigung. Dennoch kann man auch hier natürlich die Frage stellen, die fast genauso alt ist wie die Mathematik selber: Und wofür braucht man das eigentlich?

Ein wichtiges Anwendungsgebiet von Polyedern ist die Lineare Optimierung. Es handelt sich hierbei um eine Methode, die unter anderem in der Wirtschaft häufig verwendet wird, um Entscheidungen zu treffen, die von vielen Faktoren abhängen.

Im öffentlichen Nahverkehr ist das Planen der Netzlinien und Erstellen der Fahrpläne ein solches Problem. Viele Faktoren müssen berücksichtigt werden, wie Ankunfts-, Abfahrts- und Wegzeiten, Netzauslastung, Unterhaltskosten, Anzahl der zu befördernden Personen und so weiter. Die Verkehrsplaner müssen versuchen, den Verkehr flüssig zu gestalten und dabei die Kosten so gering wie möglich zu halten. Aus diesen Variablen entsteht ein System aus linearen Ungleichungen, deren Lösungsmenge ein Polytop bildet. Die optimalen Lösungen liegen in den Eckpunkten dieses Polytops. Um den effektivsten Fahrplan zu erstellen, müssen also die Eckpunkte des Polytops gefunden werden.

Das Dreieck heißt „Dreieck“, weil es drei Ecken hat. Es hat aber auch drei Kanten. Unter einem Dreikant stellt man sich allerdings eher ein Werkzeug vor. Es reicht also nicht aus, dass der Name scheinbar schon eine Definition ist. Es ist zudem notwendig, dass der Name auch benutzt wird, damit sich seine Bedeutung einschleift.

Wie steht es aber mit mathematischen Objekten, die nach Mathematikerinnen und Mathematikern benannt wurden? An dieser Stelle kann man natürlich einwenden, dass wohl viel mehr Mathematiker Namenspatronen von Sätzen oder Konzepten sind als Mathematikerinnen. Um hervorzuheben, dass es sie aber doch gibt, sind an dieser Stelle sowohl die Noether-Ringe (nach Emmy Noether) als auch die Versiera der Agnesi (nach Maria Agnesi) zu nennen. Trotzdem besteht hier natürlich Aufholbedarf!

Wie kommt es zu diesen Namenskonventionen? Meistens werden Objekte, die mit einem Namen versehen werden, von anderen Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftlern nach ihnen benannt. Das Konzept eines Ringes war ja zum Beispiel schon bekannt. Um dann die Ringe, über die Emmy Noether schrieb, von den allgemeinen unterscheiden zu können, sprach man eben über Noether-Ringe und so bürgerte sich zunächst eine Konvention und später eine Definition ein.

Dürers Vermutung hingegen hat nicht der Maler Albrecht Dürer selber geäußert. Auf ihn gehen allerdings die zugrundeliegenden Polyedernetze zurück. Die Frage selber stellte der Mathematiker G.C. Shephard im Jahr 1975, ohne sie allerdings so zu nennen. Warum dann im Folgenden von Dürers und nicht von Shephards Vermutung gesprochen wurde, darüber kann man nun spekulieren.

Zusammenfassend kann man also sagen, dass es keine Regeln oder Konventionen zur Namensvergabe gibt. Es verhält sich ähnlich wie mit der Vergabe von Spitznamen. Wenn alle wissen, wer oder was gemeint ist, dann bleibt der Name eben bestehen.