Polyeder sind geometrische Körper, die aus Ecken, Kanten und ebenen vieleckigen Seitenflächen bestehen. In unserem Projekt beschränken wir uns auf konvexe Polyeder. Das bedeutet, dass alle inneren Winkel kleiner sind als 180°, also dass sie keine Einbuchtungen, Aushöhlungen oder Löcher haben.

Bekannte Beispiele von Polyedern sind der Würfel oder die Pyramide. Aber auch das Prisma oder das Oktaeder sind manchem vielleicht schon einmal begegnet. Es gibt aber noch viel mehr Polyeder.

Eine besonders symmetrische und regelmäßige Klasse von Polyedern sind die platonischen Körper. Die fünf Polyeder bestehen nur aus gleichseitigen Vielecken. Das Tetraeder, das Oktaeder und das Ikosaeder bestehen aus gleichseitigen Dreiecken. In jeder Ecke des Tetraeders treffen drei davon zusammen. Beim Oktaeder sind es vier und beim Ikosaeder fünf. Legt man nun aber sechs gleichseitige Dreiecke in einem Punkt zusammen, so ergibt sich ein Gesamtwinkel von 360°. Damit liegen die Dreiecke flach auf der Ebene und kein Körper entsteht. Ähnlich konstruiert man auch den Würfel, bei dem in jeder Ecke drei Quadrate zusammenstoßen und das Dodekaeder, in dem je drei Fünfecke aneinander treffen. Dieses Vorgehen verwendete auch Euklid, der in seinem Buch „Elemente“ auf diese Weise bewies, dass es keine weiteren Körper mit dieser Eigenschaft geben kann.

Doch nicht nur symmetrische Polyeder sind für Mathematikerinnen und Mathematiker interessant. Oft suchen sie Polyeder (oder eben ihr höherdimensionales Äquivalent, Polytope), die ganz bestimmte Eigenschaften haben. Wir haben Geometerinnen und Geometer (so heißen die Mathematikerinnen und Mathematiker, die sich mit Geometrie beschäftigen) gefragt, welches ihre Lieblingspolyeder sind und warum. Hier sind einige Antworten:

„Wenn man Polyeder als Edelsteine betrachtet, so ist das Assoziaeder (Artikel in Englisch) der Diamant unter den Polyedern. Diamanten bestehen aus einem in der Natur sehr häufig vorkommenden Element: Kohlenstoff. Genauso entsteht das Assoziaeder durch sehr verbreitete Verfahren. Es fasziniert aber dennoch durch seine einzigartige und besondere Struktur – wie eben der Diamant.“ - Jean-Philippe Labbé.

„Mein Lieblingspolyeder ist das Ikosaeder, denn es ist sowohl sehr komplex als auch sehr einfach. Wenn man anfängt gleichseitige Dreiecke aneinander zu kleben, immer fünf Stück an einer Ecke, entsteht zwangsläufig dieses schöne Stück. Wenn ich mich in der Schule gelangweilt habe – auch das ist vorgekommen – habe ich angefangen Ikosaeder an den Rand meiner Hefte zu zeichnen. Manchmal waren sie natürlich nicht so regelmäßig, ich habe mir einen Spaß daraus gemacht, sie wie Gesichter aussehen zu lassen. Ein weiterer Grund für meine Faszination ist, dass man seine 12 Ecken in 3 Vierecke zerlegen kann, die dem goldenen Schnitt entsprechen und wie borromäische Ringe ineinander verschlungen sind.“ - Francisco Santos.

„Das interessanteste Polyeder ist für mich der ‚Miller-Körper‘ (Artikel in Englisch), der auch als ‚Pseudorhombenkuboktaeder‘ oder als ‚verlängerte verdrehte Quadratsdoppelkuppel‘ bezeichnet wird. Zuerst entdeckt wurde er im Jahre 1905 von D.M.Y. Sommerville. Er hat eine bewegte Geschichte des Übersehen-, Entdeckt- und Wiederentdecktwerdens. (Unter anderem auch von J.C.P. Miller, dem es einen seiner Namen verdankt.) Bei näherer Betrachtung entdeckt man eine Verdrehung des scheinbar perfekten Körpers, der seine Schönheit unterstreicht. Zunächst erscheint er sehr klassisch, wie ein Archimedischer Körper. Nach der modernen Definition dieser Körper gehört er dieser Familie aber nicht an. Darum ist das Pseudorhombenkuboktaeder auch eine Erinnerung daran, dass wir in der Mathematik sorgfältig mit Definitionen umgehen müssen und es immer Ausnahmen und Spezialfälle geben kann, die man zunächst nicht bedacht hat.“ - Günter M. Ziegler.

„Die Klasse der Koebe-Polyeder faszinieren mich. Alle ihre Kanten berühren eine Kugel und alle Seitenflächen besitzen einen Innkreis. Die Innkreise von benachbarten Seitenflächen berühren sich in einem Punkt. Es existiert ein expliziter Dualisierungsprozess, mit dem diese diskreten Minimalflächen von Koebe Polyedern generiert werden können. Die dazugehörigen Flächen sind die diskreten P-Schwarz-Flächen und das Koebe-Polyeder ist seine Gauß-Abbildung. Mehr dazu kann man hier nachlesen: A.I. Bobenko, T. Hoffmann, B.A. Springborn, Minimal surfaces from circle patterns: Geometry from combinatorics, Ann. of Math. 164:1 (2006) 231-264) oder nachschauen: (http://discretization.de/en/movies/koebe/).“ - Alexander Bobenko.

Ein Polygon, das man umgangssprachlich auch Vieleck nennt, ist ein zweidimensionales Polyeder. Es besteht aus Ecken und Kanten. Die Fläche, die von den Kanten eingegrenzt wird, ist das Polygon selbst.

Eine besondere Klasse bilden die regulären Polygone. Sie bestehen nur aus Kanten gleicher Länge, und alle ihre inneren Winkel sind gleich groß. Das Quadrat, das gleichseitige Dreieck und auch das gleichseitige Fünfeck sind reguläre Polygone. Sie bilden die Bausteine für die Platonischen und Archimedischer Körper.

Schneidet man einen hohlen Würfel an ausreichend vielen Kanten auf und faltet ihn dann flach auf die Ebene auf, so entsteht ein Würfelnetz. Zeichnet man dieses Netz auf Papier oder Pappe, so entsteht ein Bastelbogen, den man ausschneiden und zu einem Würfel zusammenkleben kann. Diese Methode funktioniert natürlich auch für alle anderen Polyeder. In unserem Projekt nutzen wir genau diese Bögen, um die Modelle zu bauen. Das Polyeder wird an den Kanten aufgeschnitten und ausgeklappt. Diesen Vorgang haben wir mit dem Computer simuliert und auf diese Weise automatisch die Polyedernetze erstellt.

Ein Würfel mit seinem Netz sowie ein Polyeder mit sieben Ecken und das dazugehörige Netz.

Die archimedischen Körper bilden eine weitere Klasse von sehr symmetrischen und damit manchmal als schön bezeichneten Polyedern. Auch sie bestehen nur aus gleichseitigen Vielecken, aber, anders als bei den platonischen Körpern, nicht nur aus denselben. Der Fußball ist wohl der bekannteste archimedische Körper. Mathematikerinnen und Mathematiker nennen ihn auch Ikosaederstumpf, denn er entsteht, wenn man bei einem Ikosaeder an jeder Ecke die Spitze abschneidet.

Links der Ikosaeder und rechts sein Ikosaederstumpf (oder Fußball).

Für jede feste Anzahl an Ecken gibt es eine bestimmte Anzahl an Polyedern. In der Tabelle ist die Anzahl der Ecken der Anzahl der verschiedenen Typen von Polyedern zugeordnet. Man erkennt, dass die Anzahl der Typen rapide ansteigt. So gibt es nur ein einziges Polyeder mit vier Ecken: das Tetraeder. Verteilt man nämlich vier Punkte im Raum, so liegen sie entweder alle auf einer Ebene, oder man erhält immer eine Pyramide über einem Dreieck.

Für fünf Ecken gibt es nur zwei Möglichkeiten: die Pyramide über einem Viereck, wenn vier der fünf Punkte auf einer Ebene liegen, oder die Doppelpyramide über einem Dreieck. Die sieben verschiedenen Typen von 6-eckigen Polyedern zu finden, wird dann schon langsam komplizierter.

Um herauszufinden, wie viele Polyeder einer gewissen Anzahl es tatsächlich gibt, müssen wir sie auflisten. Dazu müssen alle erstellt werden. Woher aber weiß man, dass diese Liste vollständig ist und kein Polyeder doppelt vorkommt? In der Geometrie gibt es den Satz von Steinitz, der besagt, dass jedes Polyeder eindeutig einem Graphen mit einer bestimmten Eigenschaft zugeordnet werden kann. (Hier geht es um die Protagonisten aus der Graphentheorie und nicht diejenigen, die in Koordinatensystemen zu Hause sind.) Diese Graphen sind mathematisch leichter zu fassen und damit abzuzählen. Doch auch hierfür benötigt man einen Computer, da die Zahlen schnell sehr groß werden. Die Anzahl der sieben- und achteckigen Polyeder, nämlich 34 bzw. 257 Stück, wurden bereits im Jahre 1899 gefunden. Bis zur Entdeckung der 2606 neuneckigen Polyeder im Jahre 1969 war die Erfindung des Computers notwendig.

In der Mathematik gibt es viele Möglichkeiten Dimensionen zu interpretieren. Der zugänglichste ist, sich die Dimensionen als Variablen vorzustellen. Einen Apfelkuchen zum Beispiel, der aus 6 Zutaten, sagen wir: Mehl, Butter, Zucker, Eiern, Backpulver und Äpfeln besteht, kann man als sechsdimensionales Objekt verstehen.

Durch das Betrachten von Fotos und Filmen, die ja immer eine Darstellung unserer dreidimensionalen Welt in einem zweidimensionalen Medium sind, sind wir es gewohnt eine Dimension mehr zu sehen. Den Vorgang des Abbildens einer höheren Dimension in eine niedrigere, also wenn man ein Foto, dass ja zweidimensional ist, von der dreidimensionalen Welt macht, nennt man in der Mathematik Projektion. Da es leider nicht möglich ist, den vierdimensionalen Raum im uns umgebenden dreidimensionalen Raum wirklich unterzubringen, müssen wir uns mit Projektionen behelfen.

Betrachtet man zum Beispiel den Würfel, so bestehen seine Seitenflächen aus Quadraten. Ein Quadrat kann man sich, da alle seine Kanten gleich lang sind, als einen zweidimensionalen Würfel vorstellen. Die Seiten des dreidimensionalen Würfels sind demnach zweidimensionale Würfel. Dieser Zusammenhang lässt sich auch auf höhere Dimensionen übertragen. Die Seitenflächen eines vierdimensionalen Würfels bestehen dann aus dreidimensionalen Würfeln. Es entsteht ein sogenannter Tesserakt. Hier ist ein Link zu einem Video (mit Untertiteln) in dem dieser Zusammenhang noch einmal graphisch visualisiert wird.

Wenn wir von Polyedern sprechen, setzen wir stillschweigend voraus, dass es sich um konvexe Polyeder handelt. Konvex bedeutet, dass es keine Einbuchtungen nach innen, Aushöhlungen oder Löcher gibt. Die mathematisch korrekte Definition von Konvexität besagt, dass es für je zwei Punkte, die innerhalb einer Menge liegen auch ihre Verbindungsstrecke komplett innerhalb der Menge liegen muss.

Links ein konvexes Objekt, rechts ein Objekt, das nicht konvex ist.

Jedes Polyeder kann auf verschiedene Arten geometrisch realisiert werden. Es kann groß oder klein sein, seine Form kann sich verändern, solange die Struktur der Ecken, Kanten und Flächen dieselbe bleibt. Diese Struktur, das Zusammentreffen der Kanten in den Ecken und die Anzahl der Ecken, die zu einer Fläche gehören, nennt man den kombinatorischen Typ eines Polyeders. Wir nennen zwei Polyeder kombinatorisch äquivalent, wenn sie denselben kombinatorischen Typ besitzen. d. h. wenn man die Ecken eindeutig einander zuordnen kann, so dass, wenn zwei Ecken in einem Polyeder durch eine Kante verbunden sind, auch die Ecken im anderen Polyeder eine gemeinsame Kante besitzen. Jedes Polyeder hat unendlich viele verschiedene geometrische Realisierungen. Wenn Du Dir hier auf Polytopia.eu ein Polyeder aussuchst, adoptierst du gleich den ganzen kombinatorischen Typ. Das bedeutet, dass du eigentlich gleich unendlich viele Polyeder adoptiert hast. Damit es aber nicht ganz so unübersichtlich ist, und du auch irgendwann mal mit dem Modellbauen fertig wirst, haben wir uns auf eine eindeutige Realisierung der Polyeder festgelegt. Es sind die sogenannten Koebe-Andreev-Thurston-Realisierungen der Polyeder. Ihre Besonderheit ist, dass im Inneren des Polyeders eine Kugel einbeschrieben ist, die jede der Kanten des Polyeders an genau einem Punkt berührt. Insbesondere beinhaltet jede Seitenfläche damit einen Kreis, der die Kanten genau einmal sanft berührt.

Der f-Vektor eines Polyeders gibt an, wie viele Ecken, Kanten und Seitenflächen es besitzt. Ein Vektor ist in diesem Fall keine geometrische Größe, sondern nur die Art und Weise der Darstellung dieser Zahlen. Der Würfel besteht aus 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Seitenflächen und hat somit den f-Vektor (8,12,6). Durch diesen Vektor sind die Polyeder allerdings nicht eindeutig bestimmt. Es kann andere Polyeder mit demselben f-Vektor geben, die eine völlig andere Struktur haben. Diese Polyeder nennen wir auch Geschwister.

Hier sehen wir den Würfel und seine Schwester, die ebenfalls 6 Seitenflächen, 12 Kanten und 8 Ecken besitzt, jedoch eine ganz andere Struktur hat als der Würfel.

Mathematische Modelle und deren Bau spielten in der wissenschaftlichen Mathematik lange eine wichtige Rolle. Zum einen gab es einfach keine andere Möglichkeit, um sich zu einer Anschauung im Raum zu verhelfen. Natürlich kann man dreidimensionale Modelle auch zeichnen, dann erhält man aber immer nur eine Projektion des Raumes in die Ebene, wie bei einem Foto. Bei diesen macht uns das Erkennen des Raumes keine Probleme, weil wir ja wissen, dass ein Tisch meistens rechtwinklig ist. Sehen wir einen perspektivisch verzerrten Tisch auf einem Foto, so wissen wir intuitiv, dass er eigentlich rechtwinklig ist. Anders ist das natürlich, wenn man überhaupt erst mal begreifen möchte, welche Struktur ein geometrisches Objekt besitzt. Um z. B. eine Symmetrieachse zu erkennen, ist es sehr hilfreich einen Körper tatsächlich in der Hand halten und drehen zu können.

Modelle dienten jedoch nicht nur dem eigenen Erkenntnisgewinn, sondern auch der Wissensvermittlung. Um die eigene Forschung anderen zugänglich zu machen, brauchten Mathematikerinnen und Mathematiker eine Möglichkeit zur Visualisierung. Heutzutage wird dies vor allem mit dem Computer gemacht. Es gibt zahlreiche Möglichkeiten mathematische und geometrische Graphiken zu erzeugen. Durch Rotation eines Modells wird auch dem Problem der Einschränkung auf den flachen Bildschirm entgegengewirkt.

Obwohl sich schon seit der Antike Mathematikerinnen und Mathematiker mit Polyedern beschäftigen, ist noch lange nicht alles über sie bekannt. Ein „schönes“, weil leicht verständliches und doch bislang ungelöstes Problem ist die sogenannte Dürer’sche Vermutung. Der Maler Albrecht Dürer hat sich einige Jahre lang intensiv mit Mathematik beschäftigt. Auf ihn geht auch das Konzept des Polyedernetzes zurück. In seinem Buch „Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt“ zeichnete er Netze von verschiedenen Polyedern.

Ein Polyedernetz entsteht, indem man das Polyeder als leere Hülle betrachtet, die man nun entlang seiner Kanten so aufschneidet, dass sie zusammenhängend bleibt, aber flach aufgeklappt werden kann. Auf diese Weise entsteht eine Art Bastelbogen für das Polyeder. Die Frage hinter Dürers Vermutung lautet nun, ob dies mit jedem Polyeder so möglich ist, dass sich die Seitenflächen in der Ebene nicht überschneiden. Besitzt also jedes Polyeder einen Bastelbogen?

Bis heute haben sich viele Mathematikerinnen und Mathematiker mit diesem Problem beschäftigt. Es gibt erste Zwischenergebnisse. Zum Bespiel ist bekannt, dass man jedes beliebige Polyeder so in die Länge ziehen kann, dass es dann überschneidungsfrei aufgeklappt werden kann (s. https://arxiv.org/pdf/1305.3231.pdf). Dadurch ändert sich zwar die geometrische Realisierung des Polyeders, nicht aber seine Struktur. Auf der anderen Seite ist das Tetraeder das einzige Polyeder, für das wir wirklich wissen, dass es immer aufgeklappt werden kann, egal wie sehr es verzerrt ist.

Da wir die Polyedernetze und somit die Bastelbögen der Polyeder automatisch generiert haben, ist es möglich, dass das Netz deines adoptierten Polyeders sich überschneidet und somit nicht ausgeschnitten werden kann. Sollte das bei deinem Polyeder so sein: Schreib uns eine E-Mail!

Wir nennen Polyeder Geschwister, wenn sie dieselbe Anzahl von Ecken, Kanten und Seitenflächen, also denselben f-Vektor, haben. Wie menschliche Geschwister sehen sich manche sehr ähnlich, andere wiederum haben eine völlig andere Form. Der Würfel besteht aus 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Seitenflächen. Diese Zahlen definieren ihn also nicht eindeutig, denn es gibt auch andere Polyeder mit diesem f-Vektor, die eine völlig andere Struktur haben.

Geschwister:Polythagoras, Rheingau-Franken-Verewigung, Yghoodron, Nike auf die 1, Hans-Paul-187.te, Spiky Tail, Garry, Geschwisterchen 1002447, Geschwisterchen 1000228, Geschwisterchen 1000005, Geschwisterchen 1000010, Geschwisterchen 1000012, Geschwisterchen 1000016, Geschwisterchen 1000018, Geschwisterchen 1000026, Geschwisterchen 1000028, Geschwisterchen 1000030, Geschwisterchen 1000032, Geschwisterchen 1000035, Geschwisterchen 1000038, . . . Geschwisterchen 1000039, Geschwisterchen 1000043, Geschwisterchen 1000048, Geschwisterchen 1000050, Geschwisterchen 1000052, Geschwisterchen 1000055, Geschwisterchen 1000056, Geschwisterchen 1000057, Geschwisterchen 1000060, Geschwisterchen 1000061, Geschwisterchen 1000070, Geschwisterchen 1000075, Geschwisterchen 1000077, Geschwisterchen 1000083, Geschwisterchen 1000084, Geschwisterchen 1000087, Geschwisterchen 1000089, Geschwisterchen 1000092, Geschwisterchen 1000097, Geschwisterchen 1000106, Geschwisterchen 1000115, Geschwisterchen 1000118, Geschwisterchen 1000121, Geschwisterchen 1000122, Geschwisterchen 1000125, Geschwisterchen 1000131, Geschwisterchen 1000133, Geschwisterchen 1000135, Geschwisterchen 1000151, Geschwisterchen 1000164, Geschwisterchen 1000168, Geschwisterchen 1000172, Geschwisterchen 1000173, Geschwisterchen 1000175, Geschwisterchen 1000178, Geschwisterchen 1000181, Geschwisterchen 1000191, Geschwisterchen 1000192, Geschwisterchen 1000193, Geschwisterchen 1000203, Geschwisterchen 1000208, Geschwisterchen 1000210, Geschwisterchen 1000215, Geschwisterchen 1000217, Geschwisterchen 1000219, Geschwisterchen 1000222, Geschwisterchen 1000224, Geschwisterchen 1000230, Geschwisterchen 1000236, Geschwisterchen 1000238, Geschwisterchen 1000240, Geschwisterchen 1000246, Geschwisterchen 1000247, Geschwisterchen 1000252, Geschwisterchen 1000260, Geschwisterchen 1000261, Geschwisterchen 1000264, Geschwisterchen 1000267, Geschwisterchen 1000269, Geschwisterchen 1000272, Geschwisterchen 1000276, Geschwisterchen 1000280, Geschwisterchen 1000284, Geschwisterchen 1000299, Geschwisterchen 1000303, Geschwisterchen 1000311, Geschwisterchen 1000313, Geschwisterchen 1000315, Geschwisterchen 1000317, Geschwisterchen 1000319, Geschwisterchen 1000321, Geschwisterchen 1000323, Geschwisterchen 1000325, Geschwisterchen 1000328, Geschwisterchen 1000330, Geschwisterchen 1000332, Geschwisterchen 1000334, Geschwisterchen 1000340, Geschwisterchen 1000342, Geschwisterchen 1000344, Geschwisterchen 1000345, Geschwisterchen 1000347, Geschwisterchen 1000350, Geschwisterchen 1000352, Geschwisterchen 1000354, Geschwisterchen 1000355, Geschwisterchen 1000361, Geschwisterchen 1000363, Geschwisterchen 1000378, Geschwisterchen 1000384, Geschwisterchen 1000387, Geschwisterchen 1000388, Geschwisterchen 1000394, Geschwisterchen 1000400, Geschwisterchen 1000404, Geschwisterchen 1000407, Geschwisterchen 1000408, Geschwisterchen 1000411, Geschwisterchen 1000413, Geschwisterchen 1000417, Geschwisterchen 1000421, Geschwisterchen 1000423, Geschwisterchen 1000424, Geschwisterchen 1000426, Geschwisterchen 1000430, Geschwisterchen 1000431, Geschwisterchen 1000432, Geschwisterchen 1000442, Geschwisterchen 1000446, Geschwisterchen 1000448, Geschwisterchen 1000450, Geschwisterchen 1000457, Geschwisterchen 1000461, Geschwisterchen 1000462, Geschwisterchen 1000465, Geschwisterchen 1000466, Geschwisterchen 1000468, Geschwisterchen 1000472, Geschwisterchen 1000474, Geschwisterchen 1000476, Geschwisterchen 1000477, Geschwisterchen 1000479, Geschwisterchen 1000483, Geschwisterchen 1000485, Geschwisterchen 1000486, Geschwisterchen 1000494, Geschwisterchen 1000498, Geschwisterchen 1000500, Geschwisterchen 1000507, Geschwisterchen 1000510, Geschwisterchen 1000513, Geschwisterchen 1000515, Geschwisterchen 1000518, Geschwisterchen 1000520, Geschwisterchen 1000526, Geschwisterchen 1000532, Geschwisterchen 1000533, Geschwisterchen 1000536, Geschwisterchen 1000540, Geschwisterchen 1000548, Geschwisterchen 1000558, Geschwisterchen 1000560, Geschwisterchen 1000564, Geschwisterchen 1000566, Geschwisterchen 1000568, Geschwisterchen 1000570, Geschwisterchen 1000573, Geschwisterchen 1000575, Geschwisterchen 1000578, Geschwisterchen 1000581, Geschwisterchen 1000583, Geschwisterchen 1000585, Geschwisterchen 1000587, Geschwisterchen 1000589, Geschwisterchen 1000591, Geschwisterchen 1000593, Geschwisterchen 1000594, Geschwisterchen 1000597, Geschwisterchen 1000601, Geschwisterchen 1000603, Geschwisterchen 1000607, Geschwisterchen 1000610, Geschwisterchen 1000613, Geschwisterchen 1000614, Geschwisterchen 1000618, Geschwisterchen 1000620, Geschwisterchen 1000621, Geschwisterchen 1000624, Geschwisterchen 1000626, Geschwisterchen 1000629, Geschwisterchen 1000640, Geschwisterchen 1000643, Geschwisterchen 1000645, Geschwisterchen 1000649, Geschwisterchen 1000651, Geschwisterchen 1000653, Geschwisterchen 1000655, Geschwisterchen 1000657, Geschwisterchen 1000658, Geschwisterchen 1000661, Geschwisterchen 1000665, Geschwisterchen 1000668, Geschwisterchen 1000671, Geschwisterchen 1000675, Geschwisterchen 1000678, Geschwisterchen 1000684, Geschwisterchen 1000693, Geschwisterchen 1000694, Geschwisterchen 1000705, Geschwisterchen 1000710, Geschwisterchen 1000711, Geschwisterchen 1000712, Geschwisterchen 1000714, Geschwisterchen 1000720, Geschwisterchen 1000721, Geschwisterchen 1000722, Geschwisterchen 1000726, Geschwisterchen 1000728, Geschwisterchen 1000729, Geschwisterchen 1000731, Geschwisterchen 1000735, Geschwisterchen 1000738, Geschwisterchen 1000739, Geschwisterchen 1000741, Geschwisterchen 1000745, Geschwisterchen 1000748, Geschwisterchen 1000749, Geschwisterchen 1000756, Geschwisterchen 1000760, Geschwisterchen 1000762, Geschwisterchen 1000766, Geschwisterchen 1000767, Geschwisterchen 1000771, Geschwisterchen 1000773, Geschwisterchen 1000775, Geschwisterchen 1000776, Geschwisterchen 1000778, Geschwisterchen 1000783, Geschwisterchen 1000785, Geschwisterchen 1000792, Geschwisterchen 1000804, Geschwisterchen 1000805, Geschwisterchen 1000808, Geschwisterchen 1000811, Geschwisterchen 1000818, Geschwisterchen 1000819, Geschwisterchen 1000822, Geschwisterchen 1000823, Geschwisterchen 1000827, Geschwisterchen 1000829, Geschwisterchen 1000834, Geschwisterchen 1000837, Geschwisterchen 1000838, Geschwisterchen 1000839, Geschwisterchen 1000845, Geschwisterchen 1000851, Geschwisterchen 1000863, Geschwisterchen 1000868, Geschwisterchen 1000871, Geschwisterchen 1000873, Geschwisterchen 1000876, Geschwisterchen 1000879, Geschwisterchen 1000883, Geschwisterchen 1000889, Geschwisterchen 1000890, Geschwisterchen 1000894, Geschwisterchen 1000896, Geschwisterchen 1000899, Geschwisterchen 1000905, Geschwisterchen 1000908, Geschwisterchen 1000910, Geschwisterchen 1000915, Geschwisterchen 1000918, Geschwisterchen 1000920, Geschwisterchen 1000923, Geschwisterchen 1000927, Geschwisterchen 1000928, Geschwisterchen 1000935, Geschwisterchen 1000939, Geschwisterchen 1000943, Geschwisterchen 1000945, Geschwisterchen 1000947, Geschwisterchen 1000949, Geschwisterchen 1000950, Geschwisterchen 1000951, Geschwisterchen 1000952, Geschwisterchen 1000959, Geschwisterchen 1000961, Geschwisterchen 1000964, Geschwisterchen 1000974, Geschwisterchen 1000976, Geschwisterchen 1000978, Geschwisterchen 1000989, Geschwisterchen 1000992, Geschwisterchen 1000999, Geschwisterchen 1001002, Geschwisterchen 1001004, Geschwisterchen 1001005, Geschwisterchen 1001008, Geschwisterchen 1001015, Geschwisterchen 1001018, Geschwisterchen 1001021, Geschwisterchen 1001023, Geschwisterchen 1001032, Geschwisterchen 1001035, Geschwisterchen 1001038, Geschwisterchen 1001040, Geschwisterchen 1001041, Geschwisterchen 1001046, Geschwisterchen 1001047, Geschwisterchen 1001050, Geschwisterchen 1001053, Geschwisterchen 1001055, Geschwisterchen 1001057, Geschwisterchen 1001058, Geschwisterchen 1001060, Geschwisterchen 1001061, Geschwisterchen 1001062, Geschwisterchen 1001065, Geschwisterchen 1001068, Geschwisterchen 1001072, Geschwisterchen 1001074, Geschwisterchen 1001088, Geschwisterchen 1001090, Geschwisterchen 1001092, Geschwisterchen 1001095, Geschwisterchen 1001102, Geschwisterchen 1001104, Geschwisterchen 1001107, Geschwisterchen 1001110, Geschwisterchen 1001112, Geschwisterchen 1001115, Geschwisterchen 1001119, Geschwisterchen 1001122, Geschwisterchen 1001124, Geschwisterchen 1001126, Geschwisterchen 1001131, Geschwisterchen 1001133, Geschwisterchen 1001136, Geschwisterchen 1001139, Geschwisterchen 1001141, Geschwisterchen 1001143, Geschwisterchen 1001146, Geschwisterchen 1001150, Geschwisterchen 1001152, Geschwisterchen 1001154, Geschwisterchen 1001156, Geschwisterchen 1001158, Geschwisterchen 1001168, Geschwisterchen 1001171, Geschwisterchen 1001187, Geschwisterchen 1001190, Geschwisterchen 1001191, Geschwisterchen 1001194, Geschwisterchen 1001196, Geschwisterchen 1001201, Geschwisterchen 1001203, Geschwisterchen 1001204, Geschwisterchen 1001206, Geschwisterchen 1001215, Geschwisterchen 1001216, Geschwisterchen 1001218, Geschwisterchen 1001220, Geschwisterchen 1001224, Geschwisterchen 1001228, Geschwisterchen 1001230, Geschwisterchen 1001233, Geschwisterchen 1001236, Geschwisterchen 1001239, Geschwisterchen 1001240, Geschwisterchen 1001247, Geschwisterchen 1001249, Geschwisterchen 1001252, Geschwisterchen 1001254, Geschwisterchen 1001256, Geschwisterchen 1001258, Geschwisterchen 1001262, Geschwisterchen 1001265, Geschwisterchen 1001270, Geschwisterchen 1001278, 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Geschwisterchen 1002226, Geschwisterchen 1002229, Geschwisterchen 1002231, Geschwisterchen 1002234, Geschwisterchen 1002235, Geschwisterchen 1002240, Geschwisterchen 1002242, Geschwisterchen 1002244, Geschwisterchen 1002251, Geschwisterchen 1002254, Geschwisterchen 1002255, Geschwisterchen 1002257, Geschwisterchen 1002263, Geschwisterchen 1002266, Geschwisterchen 1002268, Geschwisterchen 1002271, Geschwisterchen 1002272, Geschwisterchen 1002274, Geschwisterchen 1002278, Geschwisterchen 1002283, Geschwisterchen 1002284, Geschwisterchen 1002288, Geschwisterchen 1002289, Geschwisterchen 1002291, Geschwisterchen 1002299, Geschwisterchen 1002307, Geschwisterchen 1002308, Geschwisterchen 1002317, Geschwisterchen 1002323, Geschwisterchen 1002325, Geschwisterchen 1002338, Geschwisterchen 1002339, Geschwisterchen 1002344, Geschwisterchen 1002346, Geschwisterchen 1002347, Geschwisterchen 1002348, Geschwisterchen 1002355, Geschwisterchen 1002362, Geschwisterchen 1002369, Geschwisterchen 1002370, Geschwisterchen 1002381, Geschwisterchen 1002384, Geschwisterchen 1002386, Geschwisterchen 1002388, Geschwisterchen 1002390, Geschwisterchen 1002395, Geschwisterchen 1002396, Geschwisterchen 1002404, Geschwisterchen 1002405, Geschwisterchen 1002410, Geschwisterchen 1002412, Geschwisterchen 1002413, Geschwisterchen 1002419, Geschwisterchen 1002422, Geschwisterchen 1002424, Geschwisterchen 1002426, Geschwisterchen 1002427, Geschwisterchen 1002431, Geschwisterchen 1002432, Geschwisterchen 1002436, Geschwisterchen 1002440, Geschwisterchen 1002443, Geschwisterchen 1002444, Geschwisterchen 1002451, Geschwisterchen 1002453, Geschwisterchen 1002456, Geschwisterchen 1002463, Geschwisterchen 1002466, Geschwisterchen 1002467, Geschwisterchen 1002472, Geschwisterchen 1002476, Geschwisterchen 1002488, Geschwisterchen 1002491, Geschwisterchen 1002497, Geschwisterchen 1002500, Geschwisterchen 1002504, Geschwisterchen 1002505, Geschwisterchen 1002507, Geschwisterchen 1002508, Geschwisterchen 1002510, 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Aus der Perspektive der reinen Mathematik sind Polyeder vor allem schön und interessant und ihre Erforschung bedarf keiner weiteren Rechtfertigung. Dennoch kann man auch hier natürlich die Frage stellen, die fast genauso alt ist wie die Mathematik selber: Und wofür braucht man das eigentlich?

Ein wichtiges Anwendungsgebiet von Polyedern ist die Lineare Optimierung. Es handelt sich hierbei um eine Methode, die unter anderem in der Wirtschaft häufig verwendet wird, um Entscheidungen zu treffen, die von vielen Faktoren abhängen.

Im öffentlichen Nahverkehr ist das Planen der Netzlinien und Erstellen der Fahrpläne ein solches Problem. Viele Faktoren müssen berücksichtigt werden, wie Ankunfts-, Abfahrts- und Wegzeiten, Netzauslastung, Unterhaltskosten, Anzahl der zu befördernden Personen und so weiter. Die Verkehrsplaner müssen versuchen, den Verkehr flüssig zu gestalten und dabei die Kosten so gering wie möglich zu halten. Aus diesen Variablen entsteht ein System aus linearen Ungleichungen, deren Lösungsmenge ein Polytop bildet. Die optimalen Lösungen liegen in den Eckpunkten dieses Polytops. Um den effektivsten Fahrplan zu erstellen, müssen also die Eckpunkte des Polytops gefunden werden.

Das Dreieck heißt „Dreieck“, weil es drei Ecken hat. Es hat aber auch drei Kanten. Unter einem Dreikant stellt man sich allerdings eher ein Werkzeug vor. Es reicht also nicht aus, dass der Name scheinbar schon eine Definition ist. Es ist zudem notwendig, dass der Name auch benutzt wird, damit sich seine Bedeutung einschleift.

Wie steht es aber mit mathematischen Objekten, die nach Mathematikerinnen und Mathematikern benannt wurden? An dieser Stelle kann man natürlich einwenden, dass wohl viel mehr Mathematiker Namenspatronen von Sätzen oder Konzepten sind als Mathematikerinnen. Um hervorzuheben, dass es sie aber doch gibt, sind an dieser Stelle sowohl die Noether-Ringe (nach Emmy Noether) als auch die Versiera der Agnesi (nach Maria Agnesi) zu nennen. Trotzdem besteht hier natürlich Aufholbedarf!

Wie kommt es zu diesen Namenskonventionen? Meistens werden Objekte, die mit einem Namen versehen werden, von anderen Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftlern nach ihnen benannt. Das Konzept eines Ringes war ja zum Beispiel schon bekannt. Um dann die Ringe, über die Emmy Noether schrieb, von den allgemeinen unterscheiden zu können, sprach man eben über Noether-Ringe und so bürgerte sich zunächst eine Konvention und später eine Definition ein.

Dürers Vermutung hingegen hat nicht der Maler Albrecht Dürer selber geäußert. Auf ihn gehen allerdings die zugrundeliegenden Polyedernetze zurück. Die Frage selber stellte der Mathematiker G.C. Shephard im Jahr 1975, ohne sie allerdings so zu nennen. Warum dann im Folgenden von Dürers und nicht von Shephards Vermutung gesprochen wurde, darüber kann man nun spekulieren.

Zusammenfassend kann man also sagen, dass es keine Regeln oder Konventionen zur Namensvergabe gibt. Es verhält sich ähnlich wie mit der Vergabe von Spitznamen. Wenn alle wissen, wer oder was gemeint ist, dann bleibt der Name eben bestehen.