Polyeder sind geometrische Körper, die aus Ecken, Kanten und ebenen vieleckigen Seitenflächen bestehen. In unserem Projekt beschränken wir uns auf konvexe Polyeder. Das bedeutet, dass alle inneren Winkel kleiner sind als 180°, also dass sie keine Einbuchtungen, Aushöhlungen oder Löcher haben.

Bekannte Beispiele von Polyedern sind der Würfel oder die Pyramide. Aber auch das Prisma oder das Oktaeder sind manchem vielleicht schon einmal begegnet. Es gibt aber noch viel mehr Polyeder.

Eine besonders symmetrische und regelmäßige Klasse von Polyedern sind die platonischen Körper. Die fünf Polyeder bestehen nur aus gleichseitigen Vielecken. Das Tetraeder, das Oktaeder und das Ikosaeder bestehen aus gleichseitigen Dreiecken. In jeder Ecke des Tetraeders treffen drei davon zusammen. Beim Oktaeder sind es vier und beim Ikosaeder fünf. Legt man nun aber sechs gleichseitige Dreiecke in einem Punkt zusammen, so ergibt sich ein Gesamtwinkel von 360°. Damit liegen die Dreiecke flach auf der Ebene und kein Körper entsteht. Ähnlich konstruiert man auch den Würfel, bei dem in jeder Ecke drei Quadrate zusammenstoßen und das Dodekaeder, in dem je drei Fünfecke aneinander treffen. Dieses Vorgehen verwendete auch Euklid, der in seinem Buch „Elemente“ auf diese Weise bewies, dass es keine weiteren Körper mit dieser Eigenschaft geben kann.

Doch nicht nur symmetrische Polyeder sind für Mathematikerinnen und Mathematiker interessant. Oft suchen sie Polyeder (oder eben ihr höherdimensionales Äquivalent, Polytope), die ganz bestimmte Eigenschaften haben. Wir haben Geometerinnen und Geometer (so heißen die Mathematikerinnen und Mathematiker, die sich mit Geometrie beschäftigen) gefragt, welches ihre Lieblingspolyeder sind und warum. Hier sind einige Antworten:

„Wenn man Polyeder als Edelsteine betrachtet, so ist das Assoziaeder (Artikel in Englisch) der Diamant unter den Polyedern. Diamanten bestehen aus einem in der Natur sehr häufig vorkommenden Element: Kohlenstoff. Genauso entsteht das Assoziaeder durch sehr verbreitete Verfahren. Es fasziniert aber dennoch durch seine einzigartige und besondere Struktur – wie eben der Diamant.“ - Jean-Philippe Labbé.

„Mein Lieblingspolyeder ist das Ikosaeder, denn es ist sowohl sehr komplex als auch sehr einfach. Wenn man anfängt gleichseitige Dreiecke aneinander zu kleben, immer fünf Stück an einer Ecke, entsteht zwangsläufig dieses schöne Stück. Wenn ich mich in der Schule gelangweilt habe – auch das ist vorgekommen – habe ich angefangen Ikosaeder an den Rand meiner Hefte zu zeichnen. Manchmal waren sie natürlich nicht so regelmäßig, ich habe mir einen Spaß daraus gemacht, sie wie Gesichter aussehen zu lassen. Ein weiterer Grund für meine Faszination ist, dass man seine 12 Ecken in 3 Vierecke zerlegen kann, die dem goldenen Schnitt entsprechen und wie borromäische Ringe ineinander verschlungen sind.“ - Francisco Santos.

„Das interessanteste Polyeder ist für mich der ‚Miller-Körper‘ (Artikel in Englisch), der auch als ‚Pseudorhombenkuboktaeder‘ oder als ‚verlängerte verdrehte Quadratsdoppelkuppel‘ bezeichnet wird. Zuerst entdeckt wurde er im Jahre 1905 von D.M.Y. Sommerville. Er hat eine bewegte Geschichte des Übersehen-, Entdeckt- und Wiederentdecktwerdens. (Unter anderem auch von J.C.P. Miller, dem es einen seiner Namen verdankt.) Bei näherer Betrachtung entdeckt man eine Verdrehung des scheinbar perfekten Körpers, der seine Schönheit unterstreicht. Zunächst erscheint er sehr klassisch, wie ein Archimedischer Körper. Nach der modernen Definition dieser Körper gehört er dieser Familie aber nicht an. Darum ist das Pseudorhombenkuboktaeder auch eine Erinnerung daran, dass wir in der Mathematik sorgfältig mit Definitionen umgehen müssen und es immer Ausnahmen und Spezialfälle geben kann, die man zunächst nicht bedacht hat.“ - Günter M. Ziegler.

„Die Klasse der Koebe-Polyeder faszinieren mich. Alle ihre Kanten berühren eine Kugel und alle Seitenflächen besitzen einen Innkreis. Die Innkreise von benachbarten Seitenflächen berühren sich in einem Punkt. Es existiert ein expliziter Dualisierungsprozess, mit dem diese diskreten Minimalflächen von Koebe Polyedern generiert werden können. Die dazugehörigen Flächen sind die diskreten P-Schwarz-Flächen und das Koebe-Polyeder ist seine Gauß-Abbildung. Mehr dazu kann man hier nachlesen: A.I. Bobenko, T. Hoffmann, B.A. Springborn, Minimal surfaces from circle patterns: Geometry from combinatorics, Ann. of Math. 164:1 (2006) 231-264) oder nachschauen: (http://discretization.de/en/movies/koebe/).“ - Alexander Bobenko.

Ein Polygon, das man umgangssprachlich auch Vieleck nennt, ist ein zweidimensionales Polyeder. Es besteht aus Ecken und Kanten. Die Fläche, die von den Kanten eingegrenzt wird, ist das Polygon selbst.

Eine besondere Klasse bilden die regulären Polygone. Sie bestehen nur aus Kanten gleicher Länge, und alle ihre inneren Winkel sind gleich groß. Das Quadrat, das gleichseitige Dreieck und auch das gleichseitige Fünfeck sind reguläre Polygone. Sie bilden die Bausteine für die Platonischen und Archimedischer Körper.

Schneidet man einen hohlen Würfel an ausreichend vielen Kanten auf und faltet ihn dann flach auf die Ebene auf, so entsteht ein Würfelnetz. Zeichnet man dieses Netz auf Papier oder Pappe, so entsteht ein Bastelbogen, den man ausschneiden und zu einem Würfel zusammenkleben kann. Diese Methode funktioniert natürlich auch für alle anderen Polyeder. In unserem Projekt nutzen wir genau diese Bögen, um die Modelle zu bauen. Das Polyeder wird an den Kanten aufgeschnitten und ausgeklappt. Diesen Vorgang haben wir mit dem Computer simuliert und auf diese Weise automatisch die Polyedernetze erstellt.

Ein Würfel mit seinem Netz sowie ein Polyeder mit sieben Ecken und das dazugehörige Netz.

Die archimedischen Körper bilden eine weitere Klasse von sehr symmetrischen und damit manchmal als schön bezeichneten Polyedern. Auch sie bestehen nur aus gleichseitigen Vielecken, aber, anders als bei den platonischen Körpern, nicht nur aus denselben. Der Fußball ist wohl der bekannteste archimedische Körper. Mathematikerinnen und Mathematiker nennen ihn auch Ikosaederstumpf, denn er entsteht, wenn man bei einem Ikosaeder an jeder Ecke die Spitze abschneidet.

Links der Ikosaeder und rechts sein Ikosaederstumpf (oder Fußball).

Für jede feste Anzahl an Ecken gibt es eine bestimmte Anzahl an Polyedern. In der Tabelle ist die Anzahl der Ecken der Anzahl der verschiedenen Typen von Polyedern zugeordnet. Man erkennt, dass die Anzahl der Typen rapide ansteigt. So gibt es nur ein einziges Polyeder mit vier Ecken: das Tetraeder. Verteilt man nämlich vier Punkte im Raum, so liegen sie entweder alle auf einer Ebene, oder man erhält immer eine Pyramide über einem Dreieck.

Für fünf Ecken gibt es nur zwei Möglichkeiten: die Pyramide über einem Viereck, wenn vier der fünf Punkte auf einer Ebene liegen, oder die Doppelpyramide über einem Dreieck. Die sieben verschiedenen Typen von 6-eckigen Polyedern zu finden, wird dann schon langsam komplizierter.

Um herauszufinden, wie viele Polyeder einer gewissen Anzahl es tatsächlich gibt, müssen wir sie auflisten. Dazu müssen alle erstellt werden. Woher aber weiß man, dass diese Liste vollständig ist und kein Polyeder doppelt vorkommt? In der Geometrie gibt es den Satz von Steinitz, der besagt, dass jedes Polyeder eindeutig einem Graphen mit einer bestimmten Eigenschaft zugeordnet werden kann. (Hier geht es um die Protagonisten aus der Graphentheorie und nicht diejenigen, die in Koordinatensystemen zu Hause sind.) Diese Graphen sind mathematisch leichter zu fassen und damit abzuzählen. Doch auch hierfür benötigt man einen Computer, da die Zahlen schnell sehr groß werden. Die Anzahl der sieben- und achteckigen Polyeder, nämlich 34 bzw. 257 Stück, wurden bereits im Jahre 1899 gefunden. Bis zur Entdeckung der 2606 neuneckigen Polyeder im Jahre 1969 war die Erfindung des Computers notwendig.

In der Mathematik gibt es viele Möglichkeiten Dimensionen zu interpretieren. Der zugänglichste ist, sich die Dimensionen als Variablen vorzustellen. Einen Apfelkuchen zum Beispiel, der aus 6 Zutaten, sagen wir: Mehl, Butter, Zucker, Eiern, Backpulver und Äpfeln besteht, kann man als sechsdimensionales Objekt verstehen.

Durch das Betrachten von Fotos und Filmen, die ja immer eine Darstellung unserer dreidimensionalen Welt in einem zweidimensionalen Medium sind, sind wir es gewohnt eine Dimension mehr zu sehen. Den Vorgang des Abbildens einer höheren Dimension in eine niedrigere, also wenn man ein Foto, dass ja zweidimensional ist, von der dreidimensionalen Welt macht, nennt man in der Mathematik Projektion. Da es leider nicht möglich ist, den vierdimensionalen Raum im uns umgebenden dreidimensionalen Raum wirklich unterzubringen, müssen wir uns mit Projektionen behelfen.

Betrachtet man zum Beispiel den Würfel, so bestehen seine Seitenflächen aus Quadraten. Ein Quadrat kann man sich, da alle seine Kanten gleich lang sind, als einen zweidimensionalen Würfel vorstellen. Die Seiten des dreidimensionalen Würfels sind demnach zweidimensionale Würfel. Dieser Zusammenhang lässt sich auch auf höhere Dimensionen übertragen. Die Seitenflächen eines vierdimensionalen Würfels bestehen dann aus dreidimensionalen Würfeln. Es entsteht ein sogenannter Tesserakt. Hier ist ein Link zu einem Video (mit Untertiteln) in dem dieser Zusammenhang noch einmal graphisch visualisiert wird.

Wenn wir von Polyedern sprechen, setzen wir stillschweigend voraus, dass es sich um konvexe Polyeder handelt. Konvex bedeutet, dass es keine Einbuchtungen nach innen, Aushöhlungen oder Löcher gibt. Die mathematisch korrekte Definition von Konvexität besagt, dass es für je zwei Punkte, die innerhalb einer Menge liegen auch ihre Verbindungsstrecke komplett innerhalb der Menge liegen muss.

Links ein konvexes Objekt, rechts ein Objekt, das nicht konvex ist.

Jedes Polyeder kann auf verschiedene Arten geometrisch realisiert werden. Es kann groß oder klein sein, seine Form kann sich verändern, solange die Struktur der Ecken, Kanten und Flächen dieselbe bleibt. Diese Struktur, das Zusammentreffen der Kanten in den Ecken und die Anzahl der Ecken, die zu einer Fläche gehören, nennt man den kombinatorischen Typ eines Polyeders. Wir nennen zwei Polyeder kombinatorisch äquivalent, wenn sie denselben kombinatorischen Typ besitzen. d. h. wenn man die Ecken eindeutig einander zuordnen kann, so dass, wenn zwei Ecken in einem Polyeder durch eine Kante verbunden sind, auch die Ecken im anderen Polyeder eine gemeinsame Kante besitzen. Jedes Polyeder hat unendlich viele verschiedene geometrische Realisierungen. Wenn Du Dir hier auf Polytopia.eu ein Polyeder aussuchst, adoptierst du gleich den ganzen kombinatorischen Typ. Das bedeutet, dass du eigentlich gleich unendlich viele Polyeder adoptiert hast. Damit es aber nicht ganz so unübersichtlich ist, und du auch irgendwann mal mit dem Modellbauen fertig wirst, haben wir uns auf eine eindeutige Realisierung der Polyeder festgelegt. Es sind die sogenannten Koebe-Andreev-Thurston-Realisierungen der Polyeder. Ihre Besonderheit ist, dass im Inneren des Polyeders eine Kugel einbeschrieben ist, die jede der Kanten des Polyeders an genau einem Punkt berührt. Insbesondere beinhaltet jede Seitenfläche damit einen Kreis, der die Kanten genau einmal sanft berührt.

Der f-Vektor eines Polyeders gibt an, wie viele Ecken, Kanten und Seitenflächen es besitzt. Ein Vektor ist in diesem Fall keine geometrische Größe, sondern nur die Art und Weise der Darstellung dieser Zahlen. Der Würfel besteht aus 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Seitenflächen und hat somit den f-Vektor (8,12,6). Durch diesen Vektor sind die Polyeder allerdings nicht eindeutig bestimmt. Es kann andere Polyeder mit demselben f-Vektor geben, die eine völlig andere Struktur haben. Diese Polyeder nennen wir auch Geschwister.

Hier sehen wir den Würfel und seine Schwester, die ebenfalls 6 Seitenflächen, 12 Kanten und 8 Ecken besitzt, jedoch eine ganz andere Struktur hat als der Würfel.

Mathematische Modelle und deren Bau spielten in der wissenschaftlichen Mathematik lange eine wichtige Rolle. Zum einen gab es einfach keine andere Möglichkeit, um sich zu einer Anschauung im Raum zu verhelfen. Natürlich kann man dreidimensionale Modelle auch zeichnen, dann erhält man aber immer nur eine Projektion des Raumes in die Ebene, wie bei einem Foto. Bei diesen macht uns das Erkennen des Raumes keine Probleme, weil wir ja wissen, dass ein Tisch meistens rechtwinklig ist. Sehen wir einen perspektivisch verzerrten Tisch auf einem Foto, so wissen wir intuitiv, dass er eigentlich rechtwinklig ist. Anders ist das natürlich, wenn man überhaupt erst mal begreifen möchte, welche Struktur ein geometrisches Objekt besitzt. Um z. B. eine Symmetrieachse zu erkennen, ist es sehr hilfreich einen Körper tatsächlich in der Hand halten und drehen zu können.

Modelle dienten jedoch nicht nur dem eigenen Erkenntnisgewinn, sondern auch der Wissensvermittlung. Um die eigene Forschung anderen zugänglich zu machen, brauchten Mathematikerinnen und Mathematiker eine Möglichkeit zur Visualisierung. Heutzutage wird dies vor allem mit dem Computer gemacht. Es gibt zahlreiche Möglichkeiten mathematische und geometrische Graphiken zu erzeugen. Durch Rotation eines Modells wird auch dem Problem der Einschränkung auf den flachen Bildschirm entgegengewirkt.

Obwohl sich schon seit der Antike Mathematikerinnen und Mathematiker mit Polyedern beschäftigen, ist noch lange nicht alles über sie bekannt. Ein „schönes“, weil leicht verständliches und doch bislang ungelöstes Problem ist die sogenannte Dürer’sche Vermutung. Der Maler Albrecht Dürer hat sich einige Jahre lang intensiv mit Mathematik beschäftigt. Auf ihn geht auch das Konzept des Polyedernetzes zurück. In seinem Buch „Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt“ zeichnete er Netze von verschiedenen Polyedern.

Ein Polyedernetz entsteht, indem man das Polyeder als leere Hülle betrachtet, die man nun entlang seiner Kanten so aufschneidet, dass sie zusammenhängend bleibt, aber flach aufgeklappt werden kann. Auf diese Weise entsteht eine Art Bastelbogen für das Polyeder. Die Frage hinter Dürers Vermutung lautet nun, ob dies mit jedem Polyeder so möglich ist, dass sich die Seitenflächen in der Ebene nicht überschneiden. Besitzt also jedes Polyeder einen Bastelbogen?

Bis heute haben sich viele Mathematikerinnen und Mathematiker mit diesem Problem beschäftigt. Es gibt erste Zwischenergebnisse. Zum Bespiel ist bekannt, dass man jedes beliebige Polyeder so in die Länge ziehen kann, dass es dann überschneidungsfrei aufgeklappt werden kann (s. https://arxiv.org/pdf/1305.3231.pdf). Dadurch ändert sich zwar die geometrische Realisierung des Polyeders, nicht aber seine Struktur. Auf der anderen Seite ist das Tetraeder das einzige Polyeder, für das wir wirklich wissen, dass es immer aufgeklappt werden kann, egal wie sehr es verzerrt ist.

Da wir die Polyedernetze und somit die Bastelbögen der Polyeder automatisch generiert haben, ist es möglich, dass das Netz deines adoptierten Polyeders sich überschneidet und somit nicht ausgeschnitten werden kann. Sollte das bei deinem Polyeder so sein: Schreib uns eine E-Mail!

Wir nennen Polyeder Geschwister, wenn sie dieselbe Anzahl von Ecken, Kanten und Seitenflächen, also denselben f-Vektor, haben. Wie menschliche Geschwister sehen sich manche sehr ähnlich, andere wiederum haben eine völlig andere Form. Der Würfel besteht aus 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Seitenflächen. Diese Zahlen definieren ihn also nicht eindeutig, denn es gibt auch andere Polyeder mit diesem f-Vektor, die eine völlig andere Struktur haben.

Geschwister:Polytorsten, Pollister , Rain, PengPeng, Geschwisterchen 1000009, Geschwisterchen 1000013, Geschwisterchen 1000014, Geschwisterchen 1000017, Geschwisterchen 1000019, Geschwisterchen 1000023, Geschwisterchen 1000025, Geschwisterchen 1000029, Geschwisterchen 1000031, Geschwisterchen 1000040, Geschwisterchen 1000042, Geschwisterchen 1000044, Geschwisterchen 1000045, Geschwisterchen 1000049, Geschwisterchen 1000053, Geschwisterchen 1000078, . . . Geschwisterchen 1000085, Geschwisterchen 1000090, Geschwisterchen 1000093, Geschwisterchen 1000116, Geschwisterchen 1000119, Geschwisterchen 1000123, Geschwisterchen 1000126, Geschwisterchen 1000129, Geschwisterchen 1000132, Geschwisterchen 1000134, Geschwisterchen 1000136, Geschwisterchen 1000140, Geschwisterchen 1000142, Geschwisterchen 1000143, Geschwisterchen 1000152, Geschwisterchen 1000157, Geschwisterchen 1000159, Geschwisterchen 1000161, Geschwisterchen 1000165, Geschwisterchen 1000169, Geschwisterchen 1000171, Geschwisterchen 1000174, Geschwisterchen 1000176, Geschwisterchen 1000179, Geschwisterchen 1000180, Geschwisterchen 1000182, Geschwisterchen 1000184, Geschwisterchen 1000189, Geschwisterchen 1000190, Geschwisterchen 1000194, Geschwisterchen 1000199, Geschwisterchen 1000200, Geschwisterchen 1000201, Geschwisterchen 1000204, Geschwisterchen 1000205, Geschwisterchen 1000216, Geschwisterchen 1000218, Geschwisterchen 1000220, Geschwisterchen 1000225, Geschwisterchen 1000226, Geschwisterchen 1000229, Geschwisterchen 1000231, Geschwisterchen 1000234, Geschwisterchen 1000248, Geschwisterchen 1000253, Geschwisterchen 1000262, Geschwisterchen 1000263, Geschwisterchen 1000265, Geschwisterchen 1000268, Geschwisterchen 1000281, Geschwisterchen 1000300, Geschwisterchen 1000301, Geschwisterchen 1000304, Geschwisterchen 1000308, Geschwisterchen 1000309, Geschwisterchen 1000312, Geschwisterchen 1000316, Geschwisterchen 1000324, Geschwisterchen 1000331, Geschwisterchen 1000343, Geschwisterchen 1000346, Geschwisterchen 1000348, Geschwisterchen 1000356, Geschwisterchen 1000357, Geschwisterchen 1000389, Geschwisterchen 1000405, Geschwisterchen 1000409, Geschwisterchen 1000414, Geschwisterchen 1000418, Geschwisterchen 1000425, Geschwisterchen 1000427, Geschwisterchen 1000451, Geschwisterchen 1000453, Geschwisterchen 1000458, Geschwisterchen 1000460, Geschwisterchen 1000463, Geschwisterchen 1000467, Geschwisterchen 1000473, Geschwisterchen 1000480, Geschwisterchen 1000481, Geschwisterchen 1000484, Geschwisterchen 1000487, Geschwisterchen 1000490, Geschwisterchen 1000492, Geschwisterchen 1000495, Geschwisterchen 1000496, Geschwisterchen 1000499, Geschwisterchen 1000514, Geschwisterchen 1000516, Geschwisterchen 1000517, Geschwisterchen 1000521, Geschwisterchen 1000523, Geschwisterchen 1000524, Geschwisterchen 1000527, Geschwisterchen 1000531, Geschwisterchen 1000534, Geschwisterchen 1000537, Geschwisterchen 1000541, Geschwisterchen 1000543, Geschwisterchen 1000547, Geschwisterchen 1000549, Geschwisterchen 1000551, Geschwisterchen 1000553, Geschwisterchen 1000557, Geschwisterchen 1000559, Geschwisterchen 1000561, Geschwisterchen 1000562, Geschwisterchen 1000567, Geschwisterchen 1000569, Geschwisterchen 1000571, Geschwisterchen 1000576, Geschwisterchen 1000582, Geschwisterchen 1000584, Geschwisterchen 1000588, Geschwisterchen 1000590, Geschwisterchen 1000598, Geschwisterchen 1000602, Geschwisterchen 1000604, Geschwisterchen 1000605, Geschwisterchen 1000611, Geschwisterchen 1000612, Geschwisterchen 1000615, Geschwisterchen 1000619, Geschwisterchen 1000622, Geschwisterchen 1000641, Geschwisterchen 1000644, Geschwisterchen 1000650, Geschwisterchen 1000652, Geschwisterchen 1000662, Geschwisterchen 1000669, Geschwisterchen 1000695, Geschwisterchen 1000706, Geschwisterchen 1000715, Geschwisterchen 1000716, Geschwisterchen 1000718, Geschwisterchen 1000723, Geschwisterchen 1000724, Geschwisterchen 1000725, Geschwisterchen 1000730, Geschwisterchen 1000732, Geschwisterchen 1000736, Geschwisterchen 1000740, Geschwisterchen 1000742, Geschwisterchen 1000761, Geschwisterchen 1000768, Geschwisterchen 1000770, Geschwisterchen 1000779, Geschwisterchen 1000780, Geschwisterchen 1000784, Geschwisterchen 1000809, Geschwisterchen 1000824, Geschwisterchen 1000826, Geschwisterchen 1000828, Geschwisterchen 1000830, Geschwisterchen 1000831, Geschwisterchen 1000835, Geschwisterchen 1000836, Geschwisterchen 1000840, Geschwisterchen 1000843, Geschwisterchen 1000846, Geschwisterchen 1000847, Geschwisterchen 1000849, Geschwisterchen 1000852, Geschwisterchen 1000856, Geschwisterchen 1000857, Geschwisterchen 1000858, Geschwisterchen 1000862, Geschwisterchen 1000864, Geschwisterchen 1000865, Geschwisterchen 1000869, Geschwisterchen 1000870, Geschwisterchen 1000872, Geschwisterchen 1000877, Geschwisterchen 1000880, Geschwisterchen 1000884, Geschwisterchen 1000886, Geschwisterchen 1000891, Geschwisterchen 1000892, Geschwisterchen 1000895, Geschwisterchen 1000897, Geschwisterchen 1000900, Geschwisterchen 1000906, Geschwisterchen 1000909, Geschwisterchen 1000916, Geschwisterchen 1000921, Geschwisterchen 1000924, Geschwisterchen 1000940, Geschwisterchen 1000946, Geschwisterchen 1000953, Geschwisterchen 1000955, Geschwisterchen 1000956, Geschwisterchen 1000993, Geschwisterchen 1001006, Geschwisterchen 1001009, Geschwisterchen 1001010, Geschwisterchen 1001013, Geschwisterchen 1001016, Geschwisterchen 1001019, Geschwisterchen 1001020, Geschwisterchen 1001036, Geschwisterchen 1001042, Geschwisterchen 1001048, Geschwisterchen 1001051, Geschwisterchen 1001056, Geschwisterchen 1001063, Geschwisterchen 1001066, Geschwisterchen 1001069, Geschwisterchen 1001070, Geschwisterchen 1001073, Geschwisterchen 1001091, Geschwisterchen 1001093, Geschwisterchen 1001108, Geschwisterchen 1001109, Geschwisterchen 1001113, Geschwisterchen 1001114, Geschwisterchen 1001116, Geschwisterchen 1001120, Geschwisterchen 1001123, Geschwisterchen 1001127, Geschwisterchen 1001128, Geschwisterchen 1001140, Geschwisterchen 1001142, Geschwisterchen 1001147, Geschwisterchen 1001148, Geschwisterchen 1001151, Geschwisterchen 1001155, Geschwisterchen 1001157, Geschwisterchen 1001159, Geschwisterchen 1001161, Geschwisterchen 1001165, Geschwisterchen 1001167, Geschwisterchen 1001169, Geschwisterchen 1001172, Geschwisterchen 1001176, Geschwisterchen 1001178, Geschwisterchen 1001188, Geschwisterchen 1001192, Geschwisterchen 1001205, Geschwisterchen 1001207, Geschwisterchen 1001208, Geschwisterchen 1001209, Geschwisterchen 1001211, Geschwisterchen 1001219, Geschwisterchen 1001221, Geschwisterchen 1001223, Geschwisterchen 1001231, Geschwisterchen 1001241, Geschwisterchen 1001253, Geschwisterchen 1001257, Geschwisterchen 1001295, Geschwisterchen 1001304, Geschwisterchen 1001317, Geschwisterchen 1001325, Geschwisterchen 1001333, Geschwisterchen 1001335, Geschwisterchen 1001337, Geschwisterchen 1001339, Geschwisterchen 1001343, Geschwisterchen 1001347, Geschwisterchen 1001349, Geschwisterchen 1001354, Geschwisterchen 1001356, Geschwisterchen 1001361, Geschwisterchen 1001366, Geschwisterchen 1001367, Geschwisterchen 1001370, Geschwisterchen 1001375, Geschwisterchen 1001378, Geschwisterchen 1001379, Geschwisterchen 1001382, Geschwisterchen 1001387, Geschwisterchen 1001388, Geschwisterchen 1001390, Geschwisterchen 1001395, Geschwisterchen 1001398, Geschwisterchen 1001400, Geschwisterchen 1001403, Geschwisterchen 1001409, Geschwisterchen 1001412, Geschwisterchen 1001433, 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Geschwisterchen 1001589, Geschwisterchen 1001590, Geschwisterchen 1001593, Geschwisterchen 1001597, Geschwisterchen 1001606, Geschwisterchen 1001610, Geschwisterchen 1001612, Geschwisterchen 1001624, Geschwisterchen 1001649, Geschwisterchen 1001651, Geschwisterchen 1001656, Geschwisterchen 1001660, Geschwisterchen 1001670, Geschwisterchen 1001681, Geschwisterchen 1001714, Geschwisterchen 1001721, Geschwisterchen 1001724, Geschwisterchen 1001727, Geschwisterchen 1001730, Geschwisterchen 1001731, Geschwisterchen 1001736, Geschwisterchen 1001744, Geschwisterchen 1001747, Geschwisterchen 1001748, Geschwisterchen 1001750, Geschwisterchen 1001752, Geschwisterchen 1001755, Geschwisterchen 1001762, Geschwisterchen 1001765, Geschwisterchen 1001767, Geschwisterchen 1001773, Geschwisterchen 1001776, Geschwisterchen 1001778, Geschwisterchen 1001781, Geschwisterchen 1001783, Geschwisterchen 1001784, Geschwisterchen 1001786, Geschwisterchen 1001788, Geschwisterchen 1001792, Geschwisterchen 1001794, 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Aus der Perspektive der reinen Mathematik sind Polyeder vor allem schön und interessant und ihre Erforschung bedarf keiner weiteren Rechtfertigung. Dennoch kann man auch hier natürlich die Frage stellen, die fast genauso alt ist wie die Mathematik selber: Und wofür braucht man das eigentlich?

Ein wichtiges Anwendungsgebiet von Polyedern ist die Lineare Optimierung. Es handelt sich hierbei um eine Methode, die unter anderem in der Wirtschaft häufig verwendet wird, um Entscheidungen zu treffen, die von vielen Faktoren abhängen.

Im öffentlichen Nahverkehr ist das Planen der Netzlinien und Erstellen der Fahrpläne ein solches Problem. Viele Faktoren müssen berücksichtigt werden, wie Ankunfts-, Abfahrts- und Wegzeiten, Netzauslastung, Unterhaltskosten, Anzahl der zu befördernden Personen und so weiter. Die Verkehrsplaner müssen versuchen, den Verkehr flüssig zu gestalten und dabei die Kosten so gering wie möglich zu halten. Aus diesen Variablen entsteht ein System aus linearen Ungleichungen, deren Lösungsmenge ein Polytop bildet. Die optimalen Lösungen liegen in den Eckpunkten dieses Polytops. Um den effektivsten Fahrplan zu erstellen, müssen also die Eckpunkte des Polytops gefunden werden.

Das Dreieck heißt „Dreieck“, weil es drei Ecken hat. Es hat aber auch drei Kanten. Unter einem Dreikant stellt man sich allerdings eher ein Werkzeug vor. Es reicht also nicht aus, dass der Name scheinbar schon eine Definition ist. Es ist zudem notwendig, dass der Name auch benutzt wird, damit sich seine Bedeutung einschleift.

Wie steht es aber mit mathematischen Objekten, die nach Mathematikerinnen und Mathematikern benannt wurden? An dieser Stelle kann man natürlich einwenden, dass wohl viel mehr Mathematiker Namenspatronen von Sätzen oder Konzepten sind als Mathematikerinnen. Um hervorzuheben, dass es sie aber doch gibt, sind an dieser Stelle sowohl die Noether-Ringe (nach Emmy Noether) als auch die Versiera der Agnesi (nach Maria Agnesi) zu nennen. Trotzdem besteht hier natürlich Aufholbedarf!

Wie kommt es zu diesen Namenskonventionen? Meistens werden Objekte, die mit einem Namen versehen werden, von anderen Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftlern nach ihnen benannt. Das Konzept eines Ringes war ja zum Beispiel schon bekannt. Um dann die Ringe, über die Emmy Noether schrieb, von den allgemeinen unterscheiden zu können, sprach man eben über Noether-Ringe und so bürgerte sich zunächst eine Konvention und später eine Definition ein.

Dürers Vermutung hingegen hat nicht der Maler Albrecht Dürer selber geäußert. Auf ihn gehen allerdings die zugrundeliegenden Polyedernetze zurück. Die Frage selber stellte der Mathematiker G.C. Shephard im Jahr 1975, ohne sie allerdings so zu nennen. Warum dann im Folgenden von Dürers und nicht von Shephards Vermutung gesprochen wurde, darüber kann man nun spekulieren.

Zusammenfassend kann man also sagen, dass es keine Regeln oder Konventionen zur Namensvergabe gibt. Es verhält sich ähnlich wie mit der Vergabe von Spitznamen. Wenn alle wissen, wer oder was gemeint ist, dann bleibt der Name eben bestehen.